已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切。(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨

已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切。(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨

题型:广东省模拟题难度:来源:
已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切。
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ。
答案
(1)解:依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线上,
因为抛物线焦点到准线距离等于4,
所以圆心的轨迹是
(2)证明:∵直线AB与x轴不垂直,设AB:y=kx+2,
,可得

抛物线的方程为,求导得
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

所以,AQ⊥BQ。
举一反三
已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点的坐标为(    )。
题型:同步题难度:| 查看答案
已知抛物线C:x2=y和定点P(1,2),A,B为抛物线C上的两个动点,且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数。
(Ⅰ)求证:直线AB的斜率是定值;
(Ⅱ)若抛物线C在A,B两点处的切线相交于点M,求M的轨迹方程;
(Ⅲ)若A′与A关于y轴成轴对称,求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围.
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已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 [     ]
A、(-∞,-1)∪(1,+∞)
B、(-∞,-)∪(,+∞)
C、(-∞,-2)∪(2,+∞)
D、(-∞,-)∪(,+∞)
题型:天津模拟题难度:| 查看答案
抛物线y2=ax(a>0)与直线x=1围成的封闭图形的面积为,若直线l与抛物线相切,且平行于直线2x-y+6=0,则l的方程为(    )。
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线l:y=m(m<0)上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)求证:点S,T在以FM为直径的圆上;
(Ⅲ)当点M在直线l上移动时,直线AB恒过焦点F,求m的值.
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