已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨

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已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。

答案

（1）解：依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上，
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是

。
（2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，

，
由

，可得

，
∴

，

，
抛物线的方程为

，求导得

，
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

，
∴

所以，AQ⊥BQ。

举一反三

已知抛物线y=ax²与直线y=kx+1交于两点，其中一点坐标为(1，4)，则另一个点的坐标为（）。

题型：同步题难度：| 查看答案

已知抛物线C：x²=

y和定点P(1，2)，A，B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数。
(Ⅰ)求证：直线AB的斜率是定值；
(Ⅱ)若抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
(Ⅲ)若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

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已知抛物线C的方程为x²=

y，过点A(0，-1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是 [ ]
A、(-∞，-1)∪(1，+∞)
B、(-∞，-

)∪(

，+∞)
C、(-∞，-2

)∪(2

，+∞)
D、(-∞，-

)∪(

，+∞)

题型：天津模拟题难度：| 查看答案

抛物线y²=ax(a＞0)与直线x=1围成的封闭图形的面积为

，若直线l与抛物线相切，且平行于直线2x-y+6=0，则l的方程为（）。

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如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0，1)，点M是直线l：y=m(m＜0)上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．
(Ⅰ)求抛物线E的方程；
(Ⅱ)求证：点S，T在以FM为直径的圆上；
(Ⅲ)当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．

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