已知A(1,4),抛物线y2=16x的内接△ABC的重心恰好为抛物线的焦点,求直线BC的方程.

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已知A(1,4),抛物线y²=16x的内接△ABC的重心恰好为抛物线的焦点,求直线BC的方程.

答案

直线BC的方程为4x+y-20=0.

解析

不妨设B(x₁,y₁)、C(x₂,y₂).
∵抛物线y²=16x的焦点F(4,0)为△ABC的重心,
∴4=

,0=

,
即x₁+x₂=11,y₁+y₂=-4,得BC中点D的坐标为(

,-2),
而B、C在抛物线上,y₁²=16x₁,y₂²=16x₂,y₁²-y₂²=16(x₁-x₂),k_BC·(y₁+y₂)=16,
∴k_BC=-4.
故直线BC的方程为4x+y-20=0.

举一反三

AB是过抛物线y²=2x的焦点F的弦，且|AB|=4，则AB的中点C到直线x+

=0的距离为________________.

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动点M到定点F（3，0）比到定直线l：x=-2的距离大1，则动点M的轨迹方程是_____.

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AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M离x轴的最近距离.

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已知双曲线中心在原点,离心率为

,若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线交点到原点的距离是( )

A．2

B．

C．18+12

D．21

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已知AB为抛物线y²=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=m,则AB中点的横坐标为_____________.

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