对于抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.(1)求弦AB的长(用x1、x2、p表示)

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对于抛物线y²=2px(p>0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点.
(1)求弦AB的长(用x₁、x₂、p表示);
(2)当AB⊥x轴时,求AB的长;
(3)判断以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系.

答案

1、|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p.
2、|AB|=2p,又称为抛物线的通径.
3、以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.

解析

(1)由定义知,|AF|、|BF|分别等于点A、B到准线x=-的距离,
∴|AF|=x₁+,|BF|=x₂+,则|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p.
(2)当AB⊥x轴时,其方程为x=p,代入y²=2px,得y₁=p,y₂=-p,∴|AB|=2p,又称为抛物线的通径.
(3)如右图,设AB中点为M,分别过点A、B、M作准线的垂线,垂足为A₁、B₁、N,

∵|MN|=(|A₁A|+|B₁B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.