已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得

已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得

题型:不详难度:来源:
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.
(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点T的坐标,若不存在说明理由.
(2)若△AOB的面积为
5
2
,求向量


OA


OB
的夹角.
答案
(1)由题意知:抛物线方程为:y2=4x且P(-1,0)-------(1分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为x=my-1,代入y2=4x得
y2-4my+4=0,△=16m2-16>0,得m2>1,





y1+y2=4m
y1y2=4
--------(2分)
假设存在T(a,0)满足题意,则kAT+kBT=
y1
x1-a
+
y2
x2-a
=
2my1y2-(1+a)(y1-y2)
(x1-a)(x2-a)

=
8m-4m(1+a)
(x1-a)(x2-a)
=0.∴8m-4m(1+a)=0,
∴a=1,∴存在T(1,0)----------------(6分)
(2)S△ABC=
1
2
|OF||y1-y2|=
1
2
|y1-y2|=
5
2

∴|y1-y2|=5----------------(7分)
设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,∠AOB=θ
kOA=
y1
x1
=
y1
y21
4
=
4
y1
=tanα,kOB=
4
y2
=tanβ--------(9分)
设θ=|α-β|,
∴tanθ=|tan(α-β)|=|
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
|=|
4
y1
-
4
y2
1+
16
y1y2
|=
|y1-y2|
5
=1------(11分)
θ=
π
4
----------------------(12分)
举一反三
已知AB是抛物线y2=ax(a>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则有x1x2=______,y1y2=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知AB是抛物线y2=ax(a>0)焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则有
1
|AF|
+
1
|BF|
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若


AF
=2


FB
,则k的值是(  )
A.
1
3
B.
2


2
3
C.2


2
D.


2
4
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知抛物线y2=2px上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为(  )
A.x=8B.x=-8C.x=4D.x=-4
题型:不详难度:| 查看答案
设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.