(1)∵等轴双曲线离心率为,∴椭圆C的离心率e=. ∴e2==,∴a2=2b2. ∵由x-y+=0与圆x2+y2=b2相切,得 b=1,∴a2=2. ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明 ①若直线AB的斜率不存在,设方程为x=x0,则点A(x0,y0),B(x0,-y0). 由已知=4,得x0=-. 此时AB方程为x=-,显然过点. ②若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 则x1+x2=-,x1x2=. 由已知k1+k2=4,可得+=4, ∴+=4,即2k+(m-1) =4,将x1+x2,x1x2代入得k-=2,∴k=2(m+1), ∴m=-1.故直线AB的方程为y=kx+-1, 即y=k-1. ∴直线AB过定点. 综上,直线AB过定点. |