设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.(1)问:直线与能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;(2)已知为

设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.(1)问:直线与能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;(2)已知为

题型:不详难度:来源:
设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知的中点,且点在椭圆上.若,求椭圆的离心率.
答案
(1)直线不能垂直;(2)
解析

试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式,可求其离心率。
试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,
∴可以设直线的方程为.
,∴
.    ①             1分
∵直线与椭圆相交于两点,∴

. ②          2分
.  ③              3分
为线段的中点,∴,
,∴.     4分
假设直线能垂直.
∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1,
,∴.                  5分
∵在椭圆方程中,
∴假设不正确,在椭圆中直线不能垂直.             6分
(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
,∴四边形OANB为矩形,∴,         7分
,∴,∴

,整理得.   8分
点在椭圆上,∴,∴.    9分
此时,满足
消去,即.            10分
设椭圆的离心率为e,则,∴
,∴
,∵,∴.            
举一反三
设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线能否垂直?若能,求之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知的中点,且点在椭圆上.若,求之间满足的关系式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ=λ,其中0<λ<1.

(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上;
(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线,点,过的直线交抛物线两点.
(1)若线段中点的横坐标等于,求直线的斜率;
(2)设点关于轴的对称点为,求证:直线过定点.
题型:不详难度:| 查看答案
已知为椭圆上的三个点,为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为,求的长;
(2)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的离心率为,左右焦点分别为,且.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.