(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两
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(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两
题型:不详
难度:
来源:
(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点点恰好是抛物线
的焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为
,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足
=
,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
答案
解析
试题分析:(1)根据离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,易求出a,b的值,得到椭圆C的方程.
(2)设出直线AB的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,求得四边形APBQ的面积,从而可求四边形APBQ面积的最大值;
(3)设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,即可求得得出AB的斜率为定值.
试题解析:(1)设C方程为
(a>b>0),则
。由
,
,得
故椭圆C的方程为
。 4分
(2)①设
(
,
),B(
,
),直线AB的方程为
,代入
中整理得
,△>0
-4<
<4,
+
=
,
=
四边形APBQ的面积
=
,当
时
②当
=
时,PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为
,则PB的斜率为-
,PA的直线方程为
,代入
中整理得
+
=0,2+
=
,
同理2+
=
,
+
=
,
-
=
,
从而
=
,即直线AB的斜率为定值 13分
举一反三
(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆
的离心率
,一条准线方程为
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若以
>0)为斜率的直线
与椭圆
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
题型:不详
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(本小题满分12分)已知椭圆
的离心率为
,
在椭圆C上,A,B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若P是椭圆上异于A,B的动点,连结AP,PB并延长,分别与右准线
相交于M
1
,M2.问是否存在x轴上定点D,使得以M
1
M
2
为直径的圆恒过点D?若存在,求点D的坐标:若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
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已知
、
为椭圆
的左、右焦点,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过
的直线
交椭圆
于
两点,则
的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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是以原点
为中心,焦点在
轴上的等轴双曲线在第一象限部分,曲线
在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于
两点,则( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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