试题分析:(1)先建立直角坐标系,找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程,即可求出隧道设计的拱宽l是多少; (2)转化为求半椭圆的面积最小值问题,对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l. (3)先求出总造价的表达式,再利用导函数研究其最值即可. 试题解析:解:(1)如下图建立直角坐标系,则点P(10,2),椭圆方程为 + =1,将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程,得a= ,l=2a= ,隧道的拱宽约为 m。 5分 (2)要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,由柱体的体积公式可知:只需半椭 圆的面积最小即可。 由椭圆方程 + =1,得 + =1。因为 + ≥ ,即ab≥40,…8分 所以半椭圆面积S= ≥ 。当S取最小值时,有 = = ,得a=10 ,b= ,此时l=2a=20 , h=b+3= +3,故当拱高为( +3)m、拱宽为20 m时,隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 13分 (3)设 , 设 = + ·![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223705-28258.png) =2 (10 ),则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223705-17028.png) 令 得 或17(舍)∴ 时, 取最小值,此时 ,代入椭圆方程得 ∴ … 13分 |