(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点,且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为,过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在
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(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点,且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为,过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知椭圆
的右焦点
,且
,设短轴的一个端点为
,原点
到直线
的距离为
,过原点和
轴不重合的直线与椭圆
相交于
两点,且
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)是否存在过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,且使得
成立?若存在,试求出直线
的方程;若不存在,请说明理由
答案
(1)
;(2)存在满足条件的直线
,且其方程为
.
解析
试题分析:(1)由椭圆的对称性知
,又原点到直线
的距离为
,得
.又
,
,
故椭圆的方程为:
(2)显然当
与
轴垂直时不可能满足条件,
故设
,代入椭圆方程得:
.
与椭圆
于交于同的两点
,设
,
.
,
,
,即
,
,
解得
.
为不同的点,
,故
.
存在满足条件的直线
,且其方程为
.
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。(II)小题中,运用平面向量的数量积,“化证为算”,达到证明目的。
举一反三
已知
为双曲线C:
的左、右焦点,点
在
上,
,则
P
到
轴的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
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已知点
分别是椭圆
的左、右焦点,过
且垂直于
轴的直线与椭圆交于
A
、
B
两点,若
为正三角形,则该椭圆的离心率
是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知直线
交于
A,B
两点,且
(其中
O
为坐标原点),若
OM
⊥
AB
于
M
,则点
M
的轨迹方程为 ( )
A.
2
B.
C.
1
D.
4
题型:不详
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如图,把椭圆
的长轴
分成
等份,过每个分点作
轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点,
是椭圆的一个焦点则
________________
题型:不详
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抛物线
的焦点为
,其上的动点
在准线上的射影为
,若
是等边三角形,则
的横坐标是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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