(本题满分13 分)已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 =" 4x" 的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两

(本题满分13 分)已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 =" 4x" 的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两

题型:不详难度:来源:
(本题满分13 分)
已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 =" 4x" 的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C 在右准线l上,BC//x 轴.
(1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率;
(2)求证:线段EF被直线AC 平分.
答案
(1)
(2) 线段EF被直线AC平分。
解析
解:(1)由题意,可设椭圆的标准方程为……1分
的焦点为F(1,0)

……………………3分
所以,椭圆的标准方程为
其离心率为 ……………………5分
(2)证明:∵椭圆的右准线1的方程为:x=2,
∴点E的坐标为(2,0)设EF的中点为M,则
若AB垂直于x轴,则A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1
∴AC的中点为
∴线段EF的中点与AC的中点重合,
∴线段EF被直线AC平分,…………………………6分
若AB不垂直于x轴,则可设直线AB的方程为

…………………………7分

 ………………8分
则有………………9分

……………………10分



∴A、M、C三点共线,即AC过EF的中点M,
∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分
举一反三
(本题满分12分)
设椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
x
3
—2
4


y

0
—4

-
 
(1)求的标准方程;
(2)设直线与椭圆交于不同两点,请问是否存在这样的
直线过抛物线的焦点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,且轴,若为双曲线的一条斜率大于0的渐近线,则的斜率可以在下列给出的某个区间内,该区间可以是(   )
A.B.C.D.

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(本小题满分13分)
已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是
(I)证明为常数;
(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
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(本小题满分12分)
设动点P到点A(-l,0)和B(1,0)的距离分别为d1d2
APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1=,使得d1d2 sin2θ=λ.
(1)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(2)过点B作直线交双曲线C的右支于MN
点,试确定λ的范围,使·=0,其中点
O为坐标原点.

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(本小题满分12分)如图,曲线G的方程为y2=20(y≥0).以原点为圆心,以tt >0)为半径的圆分别与曲线Gy轴的正半轴相交于点A与点B.直线ABx轴相交于点C.

(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:直线CD的斜率为定值.
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