已知双曲线和椭圆有相同的焦点和,两曲线在第一象限内的交点为,椭圆与轴负半轴交于点,且三点共线,分有向线段的比为,又直线与双曲线的另一交点为,若.(1)求椭圆的离

已知双曲线和椭圆有相同的焦点和,两曲线在第一象限内的交点为,椭圆与轴负半轴交于点,且三点共线,分有向线段的比为,又直线与双曲线的另一交点为,若.(1)求椭圆的离

题型:不详难度:来源:
已知双曲线和椭圆有相同的焦点,两曲线在第一象限内的交点为,椭圆轴负半轴交于点,且三点共线,分有向线段的比为,又直线与双曲线的另一交点为,若
(1)求椭圆的离心率;
(2)求双曲线和椭圆的方程.
答案
(1)(2)椭圆方程为,双曲线方程为
解析
(1)设椭圆的方程为,由三点共线,且分有向线段的比为
得点的坐标为,代入椭圆方程,得椭圆的离心率
(2)由(1)可得椭圆的方程为,点的坐标为
直线的方程为
设双曲线的方程为

在双曲线上,

化简,得,故
将直线的方程代入双曲线方程,得
由此,得
从而
椭圆方程为,双曲线方程为
举一反三
已知圆A的圆心在曲线上,圆Ay轴相切,又与另一圆相外切,求圆A的方程.
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(本小题满分13分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,过分别作直线,且分别交直线两点。
(Ⅰ)若,求 椭圆的方程;
(Ⅱ)当取最小值时,试探究
的关系,并证明之.
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已知直线与曲线交于不同的两点为坐标原点.
(Ⅰ)若,求证:曲线是一个圆;
(Ⅱ)若,当时,求曲线的离心率的取值范围.
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(本题满分13分)已知平面上的动点及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是,且·。(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知直线与曲线C交于M,N两点,且直线BM,BN的斜率都存在并满足·,求证:直线过原点。
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(本小题满分13分)若椭圆的离心率等于,抛物线 的焦点在椭圆的顶点上。(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求的直线与抛物线两点,又过作抛物线的切线,当时,求直线的方程;
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