(Ⅰ)1°当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称, 所以x1=x2,y1=-y2, ∵P(x1,y1)在椭圆上, ∴+=1① 又∵S△OPQ=, ∴|x1||y1|= ② 由①②得|x1|=,|y1|=1.此时x12+x22=3,y12+y22=2; 2°当直线l的斜率存在时,是直线l的方程为y=kx+m(m≠0),将其代入+=1得 (3k2+2)x2+6kmx+3(m2-2)=0,△=36k2m2-12(3k2+2)(m2-2)>0 即3k2+2>m2, 又x1+x2=-,x1•x2=, ∴|PQ|==, ∵点O到直线l的距离为d=, ∴S△OPQ=•=, 又S△OPQ=, 整理得3k2+2=2m2,此时x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-)2-2=3, y12+y22=(3-x12)+(3-x22)=4-(x12+x22)=2; 综上所述x12+x22=3,y12+y22=2.结论成立.
(Ⅱ)1°当直线l的斜率不存在时,由(Ⅰ)知 |OM|=|x1|=,|PQ|=2|y1|=2, 因此|OM|•|PQ|=. 2°当直线l的斜率存在时,由(Ⅰ)知=-,=k+m== |OM|2=()2+()2=+==(3-), |PQ|2=(1+k2)==2(2+), 所以|OM|2|PQ|2=(3-)×2×(2+)=(3-)(2+)
≤()2=. |OM|•|PQ|≤.当且仅当3-=2+, 即m=±时,等号成立. 综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为;
(Ⅲ)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=, 证明:假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 由(Ⅰ)得 u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y22=2 解得u2=x12=x22=;v2=y12=y22=1. 因此u,x1,x2只能从±中选取, v,y1,y2只能从±1中选取, 因此点D,E,G,只能在(±,±1)这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点,与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾. 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G. |