设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,(1,32)为椭圆上一点,椭圆的长半轴长等于焦距,曲线C是以坐标原点为顶点,以F2为焦点的抛
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设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,(1,32)为椭圆上一点,椭圆的长半轴长等于焦距,曲线C是以坐标原点为顶点,以F2为焦点的抛
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左,右焦点为F
1
,F
2
,(1,
3
2
)为椭圆上一点,椭圆的长半轴长等于焦距,曲线C是以坐标原点为顶点,以F
2
为焦点的抛物线,自F
1
引直线交曲线C于P,Q两个不同的交点,点P关于x轴的对称点记为M,设
F
1
P
=λ
F
1
Q
.
(1)求椭圆方程和抛物线方程;
(2)证明:
F
2
M
=-λ
F
2
Q
;
(3)若λ∈[2,3],求|PQ|的取值范围.
答案
(1)依题意,
1
a
2
+
9
4
b
2
=1
a=2c
,又a
2
=b
2
+c
2
,解得
a
2
=4
b
2
=3
,故椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
∵F
2
(1,0),设抛物线方程为y
2
=2px,则
p
2
=1
,p=2,故抛物线方程为y
2
=4x
(2)∵F
1
(-1,0),设过此点的直线方程为y=kx+k,并设p(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则M(x
1
,-y
1
)
由
y=kx+k
y
2
=4x
得k
2
x
2
+(2k
2
-4)x+k
2
=0,△>0时,x
1
x
2
=1 (1)
又∵
F
1
P
=λ
F
1
Q
,∴x
1
+1=λ(x
2
+1)(2),y
1
=λy
2
由(1)(2)得,x
1
=λ,x
2
=
1
λ
F
2
M
=(x
1
-1,-y
1
)=(λ-1,-y
1
)
-λ
F
2
Q
=-λ(x
2
-1,y
2
)=(λ-1,-λy
2
)
故
F
2
M
=-λ
F
2
Q
(3)由(2)知 可取 P(λ,
4λ
),Q(
1
λ
,
4
λ
),则|PQ|=
(λ-
1
λ
)
2
+
(
4λ
-
4
λ
)
2
=
(λ+
1
λ
)
2
+4(λ+
1
λ
)-12
∵λ∈[2,3],∴
λ+
1
λ
∈[
5
2
,
10
3
]
,∴|PQ|∈(
(
5
2
)
2
+
4(
5
2
) -12
,
(
10
3
)
2
+4(
10
3
)-12
)
故|PQ|∈(
17
4
,
112
9
)
举一反三
已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线
x
2
=-4
2
y
的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A
(1,
2
)
在椭圆M上.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线l的方向向量为
(1,
2
)
,若直线l与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值.
题型:锦州二模
难度:
|
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抛物线x
2
=ay(a>0)的准线l与y轴交于点P,若l绕点P以每秒
π
12
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则t等于______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若直线y=kx-2与抛物线y
2
=8x交于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标是3,则|AB|=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线y=kx+1,当k变化时,直线被椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
截得的最大弦长是( )
A.4
B.2
C.
4
3
3
D.不能确定
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知直线l:y=2x+m和椭圆
C:
x
2
4
+
y
2
=1
.
(1)m为何值时,l和C相交、相切、相离;
(2)m为何值时,l被C所截线段长为
20
17
.
题型:不详
难度:
|
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