(1)设点P的坐标为(x,y), 由题意可知,点A(,y0),F2(2b,0) 所以,直线AF2的方程为y=(x-2b), 令x=0,得y=4y0, 即点P2的坐标为(0,4y0) ∴ ,可得, 而点P1(x0,y0)在双曲线上, 所以-=1, 即线段P1P2的中点P的轨迹E的方程为:-=1…4分 (2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0), 故可设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2), 由⇒(k2-)y2+4kby+b2=0, 显然,k2-≠0, ∴, 由题可知,y2y3=<0, 所以k2<. 由已知•=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2, ∴-=0, 即k2=与k2<矛盾 故不存在符合题意的直线…9分 (3),因为(Ⅰ)中轨迹E的方程为:-=1, 令y=0,则有x=±b 不妨设B(-b,0),D(b,0), 则直线QB的方程为y(x1+b)=y1(x+b), 令x=0,得M(0,), 直线QD的方程为y(x1-b)=y1(x-b), 令x=0,得N(0,), 以MN为直径的圆的方程为x2+(y-)(y-)=0, 即x2+y2+y-=0, 点Q(x1,y1)在曲线E上,则有x2-=, 所以,以MN为直径的圆的方程为x2+y2+y-=0, 当y=0时,恒有x=±b,即证以MN为直径的圆恒过两个定点(±b,0).…14分 |