直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B. (I)求实数k的取值范围; (II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双
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直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B. (I)求实数k的取值范围; (II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双
题型:四川省期末题
难度:
来源:
直线l:y=kx+1与双曲线C:2x
2
﹣y
2
=1的右支交于不同的两点A、B.
(I)求实数k的取值范围;
(II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
答案
解:(Ⅰ)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x
2
﹣y
2
=1后,
整理得(k
2
﹣2)x
2
+2kx+2=0.①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
解得k的取值范围是﹣2<k<
.
(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
)、(x
2
,y
2
),
则由①式得
②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
则由FA⊥FB得:(x
1
﹣c)(x
2
﹣c)+y
1
y
2
=0.即(x
1
﹣c)(x
2
﹣c)+(kx
1
+1)(kx
2
+1)=0.
整理得(k
2
+1)x
1
x
2
+(k﹣c)(x
1
+x
2
)+c
2
+1=0.③
把②式及
代入③式化简得
.
解得
可知
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
举一反三
若圆x
2
+y
2
=a
2
(a>0)与椭圆
有公共点,则实数a的取值范围是____。
题型:同步题
难度:
|
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设圆锥曲线r的两个焦点分别为F
1
,F
2
,若曲线r上存在点P满足|PF
1
|:|F
1
F
2
|:|PF
2
|=4:3:2,则曲线r的离心率等于
[ ]
A.
B.
或2
C.
2
D.
题型:湖南省模拟题
难度:
|
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设圆锥曲线r的两个焦点分别为F
1
,F
2
,若曲线r上存在点P满足|PF
1
|:|F
1
F
2
|:|PF
2
|=
4:3:2,则曲线r的离心率等于
[ ]
A.
B.
或2
C.
2
D.
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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已知抛物线
=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线
的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:河南省模拟题
难度:
|
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已知F
1
、F
2
是椭圆
的左、右焦点,点A是上顶点.
(1)求圆C:(x+1)
2
+(y+2)
2
=1关于直线AF
2
对称的圆C"的方程;
(2)椭圆上有两点M、N,若M、N满足
,
(点M在x轴上方),问:圆C"上是否存在一点Q,使MQ⊥NQ?若存在,求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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