已知圆M:(x+1)2+y2=8,定点N(1,0),点P为圆M上的动点,若Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQ•NP=0.(I)求点G的轨迹C的方
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已知圆M:(x+1)2+y2=8,定点N(1,0),点P为圆M上的动点,若Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQ•NP=0.(I)求点G的轨迹C的方
题型:不详
难度:
来源:
已知圆M:(x+1)
2
+y
2
=8,定点N(1,0),点P为圆M上的动点,若Q在NP上,点G在MP上,且满足
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=0
.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)直线l过点P(0,2)且与曲线C相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
答案
(I)∵
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=
0
∴|GP|=|GN|
∴
|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2
2
∵|MN|=2
∴G是以M,N为焦点的椭圆
设曲线C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,
2a=2
2
c=1
b
2
=
a
2
-
c
2
得a
2
=2,b
2
=1
∴点G的轨迹C的方程为:
x
2
2
+
y
2
=1
(6分)
(II)由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+2A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
由
y=kx+2
x
2
2
+
y
2
=1
得:(1+2k
2
)x
2
+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
∴
△>0⇒
k
2
>
3
2
由根与系数关系得
x
1
+
x
2
=-
8k
1+2
k
2
x
1
•
x
2
=
6
1+2
k
2
S
△AOB
=
1
2
|PO||
x
1
-
x
2
|=
2
2
2
k
2
-3
1+2
k
2
令
m=
2
k
2
-3
(m>0),则2
k
2
=
m
2
+3
∴
S=
2
2
m
m
2
+4
=
2
2
m+
4
m
≤
2
2
当且仅当
m=
4
m
,即m=2时,
S
max
=
2
2
,此时
k=±
14
2
∴所求的直线方程为
±
14
x-2y+4=0
(13分)
举一反三
已知映射
f:P(m,n)→
P
/
(
m
,
n
)(m≥0,n≥0)
.设点A(1,3),B(2,2),点M 是线段AB上一动点,f:M→M′.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时,点M的对应点M′所经过的路线长度为( )
A.
π
3
B.
π
4
C.
π
6
D.
π
12
题型:不详
难度:
|
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已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为△ABC外心,动点P满足:
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
(λ∈R且λ≠0),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.重心
D.AB边的中点
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)经过点M(
3
2
,
6
),它的焦距为2,它的左、右顶点分别为A
1
,A
2
,P
1
是该椭圆上的一个动点(非顶点),点P
2
是点P
1
关于x轴的对称点,直线A
1
P
1
与A
2
P
2
相交于点E.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)求点E的轨迹方程.
题型:宁国市模拟
难度:
|
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平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足
FA
+
FB
+
FC
=0
.证明:△ABC不可能为直角三角形.
题型:福建模拟
难度:
|
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已知椭圆C的两个焦点分别为F
1
和F
2
,且点A(-
5
,0),B(
5
,0)在椭圆C上,又
F
1
(-
5
,4)
.
(1)求焦点F
2
的轨迹C的方程;
(2)若直线y=kx+b(k>0)与曲线C交于M、N两点,以MN为直径的圆经过原点,求实数b的取值范围.
题型:武汉模拟
难度:
|
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