一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.(Ⅰ)试用n表示一次摸奖中奖的概率p;(Ⅱ)若n=5,求三次摸

一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.(Ⅰ)试用n表示一次摸奖中奖的概率p;(Ⅱ)若n=5,求三次摸

题型:孝感模拟难度:来源:
一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.
(Ⅰ)试用n表示一次摸奖中奖的概率p;
(Ⅱ)若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;
(Ⅲ) 记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P.当n取多少时,P最大?
答案
(Ⅰ)一次摸奖从n+5个球中任选两个,有Cn+52种,它们等可能,其中两球不同色有Cn1C51种,一次摸奖中奖的概率p=
10n
(n+5)(n+4)

(Ⅱ)若n=5,一次摸奖中奖的概率p=
5
9
,三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P3(1)=
C13
•p•(1-p)2=
80
243

(Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为p,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P=P3(1)=C31•p•(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,P"=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),知在(0,
1
3
)
上P为增函数,在(
1
3
,1)
上P为减函数,当p=
1
3
时P取得最大值.又p=
10n
(n+5)(n+4)
=
1
3
,解得n=20.
答:当n=20时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.
举一反三
5位员工甲、乙、丙、丁、戊参加单位的技能测试,已知他们测试合格的概率分别是
3
4
1
2
2
3
2
3
2
3

(Ⅰ)求他们中恰好有一人通过测试的概率;
(Ⅱ)求他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率.
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制造一个零件,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05,从它们制造的产品中各任取一件,其中恰有一件废品的概率是______.
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一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是______.
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有一数学问题,在半小时内,甲能解决它的概率为
1
2
,乙能解决它的概率为
1
3
,如果两人都试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率是______.
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6件产品中有4件合格品,2件次品.为找出2件次品,每次任取一个检验,检验后不再放回,恰好经过4次检验找出2件次品的概率为(  )
A.
3
5
B.
1
3
C.
4
15
D.
1
5
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