定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1),f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)恒成立.有下列结论:①f(0)=0;②函数f(x)为
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定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1),f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)恒成立.有下列结论:①f(0)=0;②函数f(x)为
题型:不详
难度:
来源:
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1),
f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
恒成立.有下列结论:①f(0)=0;②函数f(x)为(-1,1)上的奇函数;③函数f(x)是定义域内的增函数;④若
a
n+1
=
2
a
n
1+
a
2n
(n∈
N
*
)
,且a
n
∈(-1,0)∪(0,1),则数列{f(a
n
)}为等比数列.
其中你认为正确的所有结论的序号是______.
答案
①由对任意x,y∈(-1,1),
f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
恒成立.
取x=y=0,则
f(0)-f(0)=f(
0-0
1-0
)=f(0)
,所以f(0)=0,所以①正确;
②取x=0,y=x,则
f(0)-f(x)=f(
0-x
1-0•x
)=f(-x)
,即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为(-1,1)上的奇函数,所以②正确;
③设-1<x<y<1,则-2<x<0,xy<1,1-xy>0,所以
x-y
1-xy
<0
,
又
x-y
1-xy
+1=
x-y+1-xy
1-xy
=
(1-y)(1+x)
1-xy
>0
,
所以
-1<
x-y
1-xy
<0
,
若
f(
x-y
1-xy
)>0
,则
f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
>0,有f(x)>f(y),此时函数为减函数,
所以③不正确;
④由
f(
a
n
)+f(
a
n
)=f(
a
n
)-f(-
a
n
)=f(
2
a
n
1+
a
n
2
)
=f(a
n+1
),所以f(a
n+1
)=2f(a
n
),
又a
n
∈(-1,0)∪(0,1),所以f(a
n
)≠0,所以数列{f(a
n
)}为等比数列.
所以④正确.
故答案为①②④.
举一反三
给出以下四个命题:
①函数
f(x)=sinx+2x
f
′
(
π
3
)
,f′(x)为f(x)的导函数,令a=log
3
2,
b=
1
2
,则f(a)<f(b)
②若
f(x+2)+
1
f(x)
=0
,则函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;
③在数列{a
n
}中,a
1
=1,S
n
是其前n项和,且满足S
n+1
=
1
2
S
n
+2,则数列{a
n
}是等比数列;
④函数y=3
x
+3
-x
(x<0)的最小值为2.
则正确命题的序号是______.
题型:不详
难度:
|
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若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”;
②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x
2
是“λ-伴随函数”;
④“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点.
其中正确结论的个数是( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:奉贤区一模
难度:
|
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例1:给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有( )
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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命题“若m>0,则关于x的方程x
2
+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为______.
题型:不详
难度:
|
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若a、b、c∈R,写出命题“若ac<0,则ax
2
+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假.
题型:不详
难度:
|
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