“a＞0”是“函数f（x）=ax3-x2+x+1在R上为增函数”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

题型：不详难度：来源：

“a＞0”是“函数f（x）=ax³-x²+x+1在R上为增函数”的（　　）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

答案

由函数f（x）=ax³-x²+x+1，得到f′（x）=3ax²-2x+1，
因为函数在R上单调递增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax²-2x+1≥0恒成立，
设h（x）=3ax²-2x+1，
当a＞0时，h（x）为开口向上的抛物线，要使h（x）≥0恒成立即△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

；
当a=0时，得到h（x）=-2x+1≥0，解得x≤

1

2

，不合题意；
当a＜0时，h（x）为开口向下的抛物线，要使h（x）≥0恒成立不可能．
综上，a的范围为[

1

3

，+∞）．
又a∈[

1

3

，+∞）⇒a＞0，反之不成立．
故“a＞0”是“函数f（x）=ax³-x²+x+1在R上为增函数”的必要不充分条件．
故选B．