在△AOB中,已知OA=a,OB=b,a•b=|a-b|=2,当△AOB的面积最大时,求a与b的夹角θ.

在△AOB中,已知OA=a,OB=b,a•b=|a-b|=2,当△AOB的面积最大时,求a与b的夹角θ.

题型:不详难度:来源:
在△AOB中,已知


OA
=


a


OB
=


b


a


b
=|


a
-


b
|=2
,当△AOB的面积最大时,求


a


b
的夹角θ.
答案
设∠AOB=θ,∵


a


b
=2
|


a
-


b
|=2
,∴|


a
|2+|


b
|2-2


a


b
=4
,即 |


a
|2+|


b
|2=8
…(8分)
又∵


a


b
=2
,∴|


a
||


b
|cosθ=2
cosθ=
2
|


a
||


b
|
…(6分)
S△AOB=
1
2
|


a
||


b
|sinθ=
1
2
|


a
||


b
|


1-(
2
|


a
||


b
|
)
2

=
1
2


|


a
|
2
|


b
|
2
(1-
4
|


a
|
2
|


b
|
2
)
=
1
2


|


a
|
2
|


b
|
2
-4
=
1
2


|


a
|
2
(8-|


a
|
2
)-4
=
1
2


-|


a
|
4
+8|


a
|
2
-4
 
=
1
2


-(|


a
|
2
-4)
2
+12
  …(10分)
∴当|


a
|2=4
时,S△AOB最大.此时|


b
|2=4
cosθ=
2
2×2
=
1
2

即有 θ=
π
3
…(12分)
因此,△AOB面积最大时,


a


b
的夹角为
π
3
…(13分)
举一反三
已知向量


a
=(1,2),


b
=(3,-4),则


a


b
方向上的投影为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
=(5,12),|


a
-


b
|=3
|


b
|
的取值范围是(  )
A.[9,15]B.[10,16]C.[11,17]D.[12,18]
题型:东至县模拟难度:| 查看答案
已知平面向量


a


b
|


a
| =1,|


b
| =2
,且|2


a
+


b
|  =


10
,则向量


a


a
-2


b
的夹角为______.
题型:东至县模拟难度:| 查看答案
已知|


a
|=10
|


b
|=12


a


b
的夹角为120°,求:
(1)


a


b

(2)(3


b
-2


a
)•(4


a
+


b
)
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,


AB
=(1,  2)


AC
=(4x,  3x)
,其中x>0,△ABC的面积为
5
4
,则实数x的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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