设平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=(-12,32).(1)试证:向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量3a+b与a-3b的模相

设平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=(-12,32).(1)试证:向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量3a+b与a-3b的模相

题型:不详难度:来源:
设平面上向量


a
=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),


b
=(-
1
2


3
2
).
(1)试证:向量


a
+


b


a
-


b
垂直;
(2)当两个向量


3


a
+


b


a
-


3


b
的模相等时,求角α.
答案
(1)证明:因为


a
=(cosα,sinα),


b
=(-
1
2


3
2
)

所以


a
+


b
=(cosα-
1
2
,sinα+


3
2
)


a
-


b
=(cosα+
1
2
,sinα-


3
2
)

(


a
+


b
)•(


a
-


b
)
=(cosα-
1
2
,sinα+


3
2
)
(cosα+
1
2
,sinα-


3
2
)

=(cosα-
1
2
)(cosα+
1
2
)+(sinα+


3
2
)(sinα-


3
2
)

=cos2α-
1
4
+sin2α-
3
4
=0

所以向量


a
+


b


a
-


b
垂直;
(2)由|


a
|=1,|


b
|=1
,且|


3


a
+


b
|=|


a
-


3


b
|
,平方得(


3


a
+


b
)2=(


a
-


3


b
)2

整理得2


a
2
-2


b
2
+4


3


a


b
=0
,即


a


b
=0

所以


a


b
=(cosα,sinα)•(-
1
2


3
2
)=-
1
2
cosα+


3
2
sinα=0

即cos(60°+α)=0,或tanα=


3
3

因为0°≤α<360°,所以α=30°或α=210°.
举一反三
已知


a
=(1,-2),


b
=(x,y)

(Ⅰ)若x是从-1,0,1,2四个数中任取的一个数,y是从-1,0,1三个数中任取的一个数,求


a


b
的概率.
(Ⅱ)若x是从区间[-1,2]中任取的一个数,y是从区间[-1,1]中任取的一个数,求


a


b
的夹角是锐角的概率.
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平面向量


a


b
的夹角为60°,


a
=(2,0),|


b
|=1,则|


a
+


b
|=______.
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已知向量


a
=(cos35°,sin35°),


b
=(cos65°,sin65°)
,则向量


a


b
的夹角为______.
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已知向量


a


b
满足|


a
|=2,|


b
|=1,


a


b
的夹角为60°,则|


a
-2


b
|等于______.
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设非零向量


a


b


c
满足


|a|
=


|b|
=


|c|


a
+


b
=


c
,则


a


b
=______.
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