设平面上向量a=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），b=（-12，32）．（1）试证：向量a+b与a-b垂直；（2）当两个向量3a+b与a-3b的模相

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设平面上向量a=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），b=（-12，32）．（1）试证：向量a+b与a-b垂直；（2）当两个向量3a+b与a-3b的模相

题型：不详难度：来源：
设平面上向量


a
=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），


b
=（-
1
2
，


3
2
）．
（1）试证：向量


a
+


b
与


a
-


b
垂直；
（2）当两个向量


3


a
+


b
与


a
-


3


b
的模相等时，求角α．
答案
（1）证明：因为


a
=(cosα，sinα)，


b
=(-
1
2
，


3
2
)，
所以


a
+


b
=(cosα-
1
2
，sinα+


3
2
)，


a
-


b
=(cosα+
1
2
，sinα-


3
2
)．
(


a
+


b
)•(


a
-


b
)=(cosα-
1
2
，sinα+


3
2
)•(cosα+
1
2
，sinα-


3
2
)
=(cosα-
1
2
)(cosα+
1
2
)+(sinα+


3
2
)(sinα-


3
2
)
=cos2α-
1
4
+sin2α-
3
4
=0．
所以向量


a
+


b
与


a
-


b
垂直；
（2）由|


a
|=1，|


b
|=1，且|


3


a
+


b
|=|


a
-


3


b
|，平方得(


3


a
+


b
)2=(


a
-


3


b
)2，
整理得2


a
2-2


b
2+4


3


a
•


b
=0，即


a
•


b
=0．
所以


a
•


b
=(cosα，sinα)•(-
1
2
，


3
2
)=-
1
2
cosα+


3
2
sinα=0，
即cos（60°+α）=0，或tanα=


3
3
．
因为0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．
举一反三
已知


a
=(1，-2)，


b
=(x，y)，
（Ⅰ）若x是从-1，0，1，2四个数中任取的一个数，y是从-1，0，1三个数中任取的一个数，求


a
⊥


b
的概率．
（Ⅱ）若x是从区间[-1，2]中任取的一个数，y是从区间[-1，1]中任取的一个数，求


a
，


b
的夹角是锐角的概率．
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平面向量


a
与


b
的夹角为60°，


a
=（2，0），|


b
|=1，则|


a
+


b
|=______．
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已知向量


a
=(cos35°，sin35°)，


b
=(cos65°，sin65°)，则向量


a
与


b
的夹角为______．
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已知向量


a
，


b
满足|


a
|=2，|


b
|=1，


a
与


b
的夹角为60°，则|


a
-2


b
|等于______．
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设非零向量


a
，


b
，


c
满足


|a|
=


|b|
=


|c|
，


a
+


b
=


c
，则＜


a
，


b
＞=______．
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