已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限,圆C与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为27.(1)求圆C的方程;(2)若点P(x,y)是圆C上的点,满足

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限,圆C与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为27.(1)求圆C的方程;(2)若点P(x,y)是圆C上的点,满足

题型:不详难度:来源:
已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限,圆C与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2


7

(1)求圆C的方程;
(2)若点P(x,y)是圆C上的点,满足


3
x+y-m≤0
恒成立,求m的取值范围;
(3)将圆C向左移1个单位,再向下平移3个单位得到圆C1,P为圆C1上第一象限内的任意一点,过点P作圆C1的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设


OM
=


OA
+


OB
,求丨


OM
丨的最小值(O为坐标原点).
答案
(1)根据题意设圆心C(a,3a),a>0,半径为3a,
∵圆心到直线x-y=0的距离d=
|a-3a|
2
=2a,弦长为2


7
,半径为3a,
∴2


7
=2


r2-d2
,即7a2=7,
解得:a=1,则圆C方程为(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)根据圆C方程设x=1+cosα,y=3+sinα,
不等式


3
x+y-m≤0恒成立,即为m≥


3
x+y恒成立,


3
x+y=


3
+3+


3
cosα+sinα=


3
+3+2sin(α+θ)的最大值为


3
+3+2=


3
+5,
则m满足m≥


3
+5,故 m的取值范围为[


3
+5,+∞).
(3)由条件利用平移规律确定出圆C1的方程为 (x-0)2+(y-0)2=9,
设点P的坐标为(x0,y0),则有x0>0,y0>0,且x02+y02=9,
故切线l的方程为 x0•x+y0•y=9,
由此可得点A(
9
x0
,0),点B的坐标为(0,
9
y0
),


OM
=


OA
+


OB
=(
9
x0
9
y0
),
举一反三
已知P是△ABC所在平面内任意一点,且


PA
+


PB
+


PC
=3


PG
,则G是△ABC的(  )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
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如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若


AB
=


a


AD
=


b


AA1
=


c
,则向量


BM


a


b


c
,可表示为______.
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如图,AB是半圆O的直径,C,D是弧AB三等分点,M,N是线段AB的三等分点,若OA=6,则


MD


NC
的值是 ______.
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已知


a
=(2,-1,2),


b
=(2,2,1),则以


a


b
为邻边的平行四边形的面积为______.
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给定两个长度为1的平面向量


OA


OB
,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心,以1半径的圆弧AB上变动.若


OC
=x


OA
+y


OB
,其中x,y∈R,则x+y的最大值是______.
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