已知O为△ABC所在平面外一点,且OA=a,OB=b,OC=c,OA,OB,OC两两互相垂直,H为△ABC的垂心,试用a,b,c表示OH.

已知O为△ABC所在平面外一点,且OA=a,OB=b,OC=c,OA,OB,OC两两互相垂直,H为△ABC的垂心,试用a,b,c表示OH.

题型:不详难度:来源:
已知O为△ABC所在平面外一点,且


OA
=


a


OB
=


b


OC
=


c
,OA,OB,OC两两互相垂直,H为△ABC的垂心,试用


a


b


c
表示


OH
答案
OA⊥OB
OA⊥OC





⇒OA⊥
平面OBC⇒OA⊥BC,连AH并延长并BC于M.
则由H为△ABC的垂心.∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、
同理可证:
OH⊥AC
AC∩BC=C





⇒OH⊥
平面ABC、


OA


OB


OC
是空间中三个不共面的向量,由向量基本定理知,存在三个实数k1,k2,k3使得


OH
=k1


a
+k2


b
+k3


c



OH


BC
=0


a


b
=


a


c
=0
⇒k2


b
2
=k3


c
2
,同理k1


a
2
=k2


b
2

∴k1


a
2
=k2


b
2
=k3


c
2
=m≠0. ①
又AH⊥OH,


AH


OH
=0⇒(k1-1)a+k2b+k3c•(k1a+k2b+k3c)
=0⇒k1(k1-1)


a
2
+k22


b
2
+k32


c
2
=0②
联立①及②,得
m(k1-1)+mk2+mk3=0,
m≠0





k1+k2+k3=1

又由①,得k1=
m


a
2
k2=
m


b
2
k3=
m


c
2
,代入③得:m=


a
2


b
2


c
2


a
2


b
2
+


b
2


c
2
+


c
2


a
2
k1=


b
2


c
2
k2=


c
2


a
2
k3=
a2b2

其中△=


a
2


b
2
+


b
2


c
2
+


c
2


a
2
,于是


OH
=
1


b
2


c
2


a
+


c
2


a
2


b
+


a
2


b
2


c
举一反三
已知在梯形ABCD中,ABDC,且A、B、D三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


2
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+


2
=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足


OA
+


OB
=t


op
(O为坐标原点),当|


PA
-


PB
|<
2


5
3
时,求实数t取值范围.
题型:江西模拟难度:| 查看答案
向量


a
=(1,sinθ),


b
=(1,cosθ),若


a


b
=
3
5
,则sin2θ=______.
题型:西城区一模难度:| 查看答案
已知双曲线的中心在坐标原点,两个焦点为F1(-


7
,0),F2


7
,0),点P是此双曲线上的一点,且


PF1


PF2
=0,|


PF1
|•|


PF2
|=4,该双曲线的标准方程是(  )
A.
x2
4
-
y2
3
=1
B.
x2
3
-
y2
4
=1
C.
x2
5
-
y2
2
=1
D.
x2
2
-
y2
5
=1
题型:洛阳模拟难度:| 查看答案
设O中△ABC的外心,


AB
=


a


AC
=


b
,且|


a
|=|


b
|,则


AO
可用


a


b
表示为(  )
A.


a
-2
2(


a
-2
+


a


b
)


a
+


b
B.(


a
+


b
C.
1
3


a
+


b
D.
1
2


a
+


b
题型:不详难度:| 查看答案
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