如图,在三棱柱中,底面,,,分别是棱,的中点,为棱上的一点,且//平面.(1)求的值;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.

如图,在三棱柱中,底面,,,分别是棱,的中点,为棱上的一点,且//平面.(1)求的值;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱柱中,底面分别是棱的中点,为棱上的一点,且//平面.
(1)求的值;
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值.
答案
(1);(2)详见解析;(3)二面角的余弦值为.
解析

试题分析:(1)求的值,关键是找的位置,注意到平面,有线面平行的性质,可得,由已知中点,由平面几何知识可得中点,从而可得的值;(2)求证:,有图观察,用传统方法比较麻烦,而本题由于底面,所以,又,这样建立空间坐标比较简单,故以为原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,取,可写出个点坐标,从而得向量的坐标,证即可;(3)求二面角的余弦值,由题意可得向量是平面的一个法向量,只需求出平面的一个法向量,可设平面的法向量,利用,即可求出平面的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值.
(1)因为平面
平面,平面平面
所以.                          3分
因为中点,且侧面为平行四边形
所以中点,所以.                4分
(2)因为底面
所以,                                      5分

如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则由可得                  6分
因为分别是的中点,
所以.                                      7分
.                    8分
所以
所以.                                         9分

(3)设平面的法向量,则
                10分
,则,所以.                11分
由已知可得平面的法向量                    11分
所以                    13分
由题意知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.                    14分
举一反三
已知四边形ABCD满足,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成,F为的中点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)证明:
(3)求面所成锐二面角的余弦值.

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如图,在四棱锥中,平面,,且,点上.
(1)求证:
(2)若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.

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分别是的斜边上的两个三等分点,已知,则      
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外接圆的圆心,,且,则  .
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如图,在△ABC中,∠ABC=,∠BAC,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC

(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)设E为BC的中点,求夹角的余弦值.
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