试题分析:(1)设AC交BD于O,以 、、分别为S,D,C, x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则S,D,C, 求出,的坐标,并计算得到·=0,从而AC⊥SD.(2)为平面PAC的一个法向量, 为平面DAC的一个法向量,向量与的夹角等于二面角PACD的平面角,根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.(3)假设存在一点E使BE∥平面PAC,设=t(0≤t≤1),则=+=+t,因为·=0,可建立关于t的等式,解之即可. 试题解析:(1)证明:连接BD,设AC交BD于O, 由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为 x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设底面边长为a,,则高SO=a.于是S,D,C, =,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 4分 (2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=, 平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==, 故所求二面角的大小为30°. 8分 (3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.,由(2)知是平面PAC的一个法向量, 且=,=, 设=t(0≤t≤1), =+=+t=,而·=0t=, 即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC. 12分 |