如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面,,.(Ⅰ) 若点是的中点,求证:平面;(II)若点为线段的中点,求二面角的正切值.
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如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面,,.(Ⅰ) 若点是的中点,求证:平面;(II)若点为线段的中点,求二面角的正切值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
中,
是正三角形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
.
(Ⅰ) 若点
是
的中点,求证:
平面
;
(II)若点
为线段
的中点,求二面角
的正切值.
答案
(Ⅰ)证明:设
,
交于点
,连接
,易知
为
的中位线,
故
,又
平面
,
平面
,得
平面
.
(Ⅱ)解:过
做
交
于
,过
作
交
于
,
由已知可知
平面
,
,且
,
过
作
交
于
,连接
,由三垂线定理可知:
为所求角
如图,
平面
,
,由三垂线定理可知,
在
中,斜边
,
,得
,
在
中,
,得
,由等面积原理得,B到CE边的高为
则
; 在
中,
,则
,
故:
法2建立如图所示的空间直角坐标系,
则
,
,
;
,
(I)设平面
的法向量为
,
则
即
;推出
即
,
平面
。
(II)
,故
解析
试题分析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则
,
,
;
,
(I)设平面
的法向量为
,
则
即
;
即
令
,则
;又
,故
即
,而
平面
所以
平面
。
(II)设平面
的法向量为
,
,
则
即
;
即
令
,则
;由题可知平面
的法向量为
故
,故
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。
举一反三
如图所示,在四棱锥
中,底面
为矩形,
平面
,点
在线段
上,
平面
.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)若
,
,求二面角
的正切值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,矩形
中,
,
,
平面
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:
平面
.
(2)若
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在直四棱柱
中,底面
为平行四边形,且
,
,
,
为
的中点.
(1) 证明:
∥平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,BC⊥侧面AA
1
C
1
C,AC=BC=1,CC
1
=2, ∠CAA
1
=
,D、E分别为AA
1
、A
1
C的中点.
(1)求证:A
1
C⊥平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面角C
1
-AB-C的平面角等于________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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