试题分析:(1)由题意可知, 为等腰三角形, 是 边上的中线,所以 ,再由已知条件算出 的三条边长,由此根据勾股定理,可证 ,从而得证 平面 ;(2)作 于F,连AF,由(1)知, 故 ,所以 ,则 是二面角 的平面角,利用平面几何知识即可算出其正切值;(3)设点E到平面ACD的距离为 因为 ,所以 ,从而求出 .也可以点 为原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用利用空间向量方法,求解各个小题,详见解析. 试题解析:(Ⅰ)证明:连结OC
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024956-97238.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024956-81805.png) 在 中,由已知可得 而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024957-66116.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024957-56922.png) 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024958-81192.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024958-82077.png) 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024952-54525.png) (Ⅱ)解: 作 于F,连AF 由(1)知, 故
, 是二面角 的平面角, 易知 , . 即所求二面角 的正切值为 (Ⅲ)解:设点E到平面ACD的距离为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024955-11709.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106024959-62885.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025000-41330.png) 在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025000-12211.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025000-45026.png) 而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025001-72311.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025001-54836.png)
点E到平面ACD的距离为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025001-32603.png) 方法二:(Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025002-20016.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025002-24055.png) (Ⅲ)解:设平面ACD的法向量为 则
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025002-83875.png) 令 得 是平面ACD的一个法向量,又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106025003-52466.png)
点E到平面ACD的距离 . |