如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,且PD=,PA=PC=.(1)求证:直线PD⊥面ABCD; (2)求二面角A－PB－D的大小.

题型：不详难度：来源：

如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,且PD=,PA=PC=.

(1)求证:直线PD⊥面ABCD;
(2)求二面角A－PB－D的大小.

答案

（1）见解析；（2）.

解析

(1)本小题可通过证，和来达到证明直线PD⊥面ABCD的目的。
（2）解决本小题的关键是作出二面角的平面角，取AP中点H，过H作于G，连结DG。则为所求二面角平面角,然后解三角形求角即可。
解：（1）在中，，
即，同理又AD、CD平面ABCD，
直线PD
（2）解法一：
如图,连结AC和BD，设

由（1）知，又，且
PD、BD平面PBD，直线AC平面PBD，
过点O作E为垂足，连结AE，由三垂线定理知
， 为二面角A-PB-D的平面角
AB，所以面ABCD，故ABPD，
从而AB面PAD，故ABPA，
在中，在中，
在中，
二面角A-PB-D的平面角为.
解法二：取AP中点H，过H作于G，连结DG

则为所求二面角平面角，
解法三：利用空间向量