如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求A1C与DB所成角的大小;(2)求二面角D-A1B-C的余弦值;(3)若点E在A1B上,且EB=1,求
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求A1C与DB所成角的大小;(2)求二面角D-A1B-C的余弦值;(3)若点E在A1B上,且EB=1,求
题型:不详
难度:
来源:
如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1.
(1)求A
1
C与DB所成角的大小;
(2)求二面角D-A
1
B-C的余弦值;
(3)若点E在A
1
B上,且EB=1,求EC与平面ABCD所成角的大小.
答案
(1)如图建立空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,1,0),A
1
(1,1,1).
∴
DB
=(-1,1,0)
,
C
A
1
=(1,1,1)
.
∴
cos<
DB
,
C
A
1
>=
DB
•
C
A
1
|
DB
|•|
C
A
1
|
=
0
2
•
3
=0
.
∴A
1
C与DB所成角的大小为90°.
(2)设平面A
1
BD的法向量
n
1
=(x,y,z),
则
n
1
⊥
DB
,
n
1
⊥
A
1
B
,
可得
-x+y=0
x+z=0
,∴
n
1
=(1,1,-1).
同理可求得平面A
1
BC的一个法向量
n
2
=(1,0,-1),
∴cos<
n
1
,
n
2
>=
n
1
•
n
2
|
n
1
|•|
n
2
|
=
2
6
=
6
3
,
∴二面角D-A
1
B-C的余弦值为
6
3
.
(3)设
n
=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,且
CE
=(
2
2
,1,
2
2
)
,
∴cos<
n
,
CE
>
=
n
•
CE
|
n
|•|
CE
|
=
1
2
,
∴<
n
,
CE
>
=60°,
∴EC与平面ABCD所成的角是30°.
举一反三
设直线l与平面α相交,且l的方向向量为
a
,α的法向量为
n
,若<
a
,
n
>=
2π
3
,则l与α所成的角为( )
A.
2π
3
B.
π
3
C.
π
6
D.
5π
6
题型:不详
难度:
|
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三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为
n
1
,
n
2
,若<
n
1
,
n
2
>=
π
3
,则二面角A-BD-C的大小为( )
A.
π
3
B.
2π
3
C.
π
3
或
2π
3
D.
π
6
或
π
3
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角CBFD的正切值为( )
A.
3
6
B.
3
4
C.
3
3
D.
2
3
3
题型:不详
难度:
|
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若向量
a
=(2,-3,
3
)是直线l的方向向量,向量
b
=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α所成角的大小为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为______.
题型:不详
难度:
|
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