如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，　(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；　　(Ⅱ)求证：EF⊥CD；　　(Ⅲ

题型：北京期末题难度：来源：

如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，　
(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；　　
(Ⅱ)求证：EF⊥CD；　　
(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

答案

解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2a，BC=2b，PA=2c，
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），
D（0，2b，0），P（0，0，2c），
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E（a，0，0），F（a，b，c），
（Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c），
=（0，2b，0），
∴，
∴与共面，
又∵平面PAD，
∴EF∥平面PAD。
（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），
∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0，
∴EF⊥CD；
（Ⅲ）若∠PDA=45°，则有2b=2c，即b=c，
∴=（0，b，b），=（0，0，2b），
∴，
∴=45°，
∵AP⊥平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，
∴EF与平面ABCD所成的角为
90°-=45°。