定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)
题型:内江一模难度:来源:
定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•{x},g(x)=x-1,若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程f(x)=g(x)、不等式f(x)<g(x)解集的长度,则当0≤x≤2012时,有( )A.d1=2,d2=0,d3=2010 | B.d1=1,d2=1,d3=2010 | C.d1=2,d2=1,d3=2009 | D.d1=2,d2=2,d3=2008 |
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答案
f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1, f(x)>g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1,即([x]-1)x>[x]2-1, 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1); 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0<0,∴x∈∅; 当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)>g(x)在0≤x≤2012时的解集为[0,1),故d1=1, f(x)=g(x)⇒[x]x-[x]2=x-1,即([x]-1)x=[x]2-1, 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0=0,∴x∈[1,2); 当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)=g(x)在0≤x≤2012时的解集为[1,2),故d2=1, f(x)<g(x)⇒[x]x-[x]2<x-1即([x]-1)x<[x]2-1, 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0>0,∴x∈∅; 当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[2,2012]; ∴f(x)<g(x)在0≤x≤2012时的解集为[2,2012],故d3=2010. 故选B. |
举一反三
对于复数a、b、c、d,若集合S={a,b,c,d}具有性质:“对任意x,y∈S,都有xy∈S”,则当时,(cd)b的值是( ) |
平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( ) |
记集合T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M={+++|ai∈T,i=1,2,3,4},将M中的元素按从大到小排列,则第2013个数是( ) |
将正整数2,3,4,5,6,7,…,n,…作如下分类:(2),(3,4),(5,6,7),(8,9,10,11),…,分别计算各组包含的正整数的和,记为S1,S2,S3,S4,…,记Tn=S1+S3+S5+…+S2n-1. (1)分别求T1,T2,T3的值; (2)请猜测Tn的结果,并用数学归纳法证明. |
若n是正整数,定义n!=n×(n-1)×(n-2)×…3×2×1,如3!=3×2×1=6,设m=1!+2!+3!+4!+…+2011!+2012!,则m这个数的个位数字为______. |
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