如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α+cos2β=1，则在立体几何中，给出类比猜想。

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如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos²α+cos²β=1，则在立体几何中，给出类比猜想。

答案

解：在长方形ABCD中，cos²α+cos²β=

，
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos²α+cos²β+cos²γ=1，
证明如下：cos²α+cos²β+cos²γ=

。

举一反三

我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是（）。

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顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+ 4+3+2+1，…的前4项的值，由此猜测1+2+3+…+（n-1）+n +（n-1）+…+3+2+1的结果。

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如图所示，从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为d₁、d₂、d₃、d₄，且相应各面上的高分别为h₁、h₂、 h₃、h₄，求证：

。

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设

，写出 S₁，S₂，S₃，S₄的值，归纳并猜想出结果。

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类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质。

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