试题分析:本题主要以多面体为几何背景,考查线线平行、线线垂直、线面平行、面面平行、二面角、线面角等数学知识,考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问,因为BFED为矩形,所以BF//DE,利用线面平行的判定得BF//平面AED,因为ABCD为棱形,所以BC//AD,利用线面平行的判定,得BC//平面ADE,再利用面面平行的判定,得平面FBC//平面EDA;第二问,利用线面垂直的性质,利用平行线、利用棱形、矩形的性质,得,,从而得出是二面角的平面角,且,法一:先利用四边形ADBG和BDEF,证明A、E、F、G共面,再由证过的垂直关系,证明面AEFG,所以为所求,在中,可求出AN即AC的值,在等腰三角形AMC中,可求出MC,而在直角三角形GMC中可求;法二:连结BM,在中,利用余弦定理,解出,再利用,利用诱导公式求;法三:利用图中的垂直关系,建立空间直角坐标系,找到平面AEF的法向量坐标,再找到坐标,利用夹角公式先求出与平面AEF的法向量的夹角,再利用诱导公式求. 试题解析:(1)矩形中, 1分 平面,平面,平面, 2分 同理平面, 3分 又平面∥平面 4分 (2)取的中点. 由于面,∥, 又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形, 所以,就是二面角的平面角 -8分
解法1(几何方法):
延长到,使,由已知可得,是平行四边形,又矩形,所以是平行四边形,共面,由上证可知,,,相交于,平面,为所求. 由,,得 等腰直角三角形中,,可得 直角三角形中, 解法2几何方法):由,,得平面,欲求直线与平面所成的角,先求与所成的角. 12分 连结,设则在中,,,用余弦定理知 -14分 解法3(向量方法):以为原点,为轴、为轴 建立如图的直角坐标系,
由则, ,平面的法向量, -12分 . -14分 |