如图,在矩形ABCD中,AB>·AD,E为AD的中点,连结EC,作EF⊥EC,且EF交AB于F,连结FC.设=k,是否存在实数k,使△AEF、△ECF、△

如图,在矩形ABCD中,AB>·AD,E为AD的中点,连结EC,作EF⊥EC,且EF交AB于F,连结FC.设=k,是否存在实数k,使△AEF、△ECF、△

题型:不详难度:来源:
如图,在矩形ABCD中,AB>·AD,E为AD的中点,连结EC,作EF⊥EC,且EF交AB于F,连结FC.设=k,是否存在实数k,使△AEF、△ECF、△DCE与△BCF都相似?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.

答案

解析
假设存在实数k的值,满足题设.
①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.因为EF⊥EC,
所以∠AEF=90°-∠DEC=∠DCE.
而∠A=∠D=90°,故△AEF∽△DCE.
故得.又DE=EA,所以.
又∠CEF=∠EAF=90°,所以△AEF∽△ECF.
②再证明可以取到实数k的值,使△AEF∽△BCF,
由于∠AFE+∠BFC≠90°,故不可能有∠AFE=∠BFC,
因此要使△AEF∽△BCF,应有∠AFE=∠BFC,
此时,有,又AE=BC,故得AF=BF=AB.
由△AEF∽△DCE,可知
因此,AB2,所以,求得k=.
可以验证,当k=时,这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形,故它们都相似.
举一反三
已知:如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.求证:AE·BF·AB=CD3.

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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为E,∠ABC=45°,过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G,过E作AD的平行线交AB于H.求证:FG2=AF·DF+BG·CG+AH·BH.

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如图,在ABCD中,BC=24,E、F为BD的三等分点,求BM-DN的值.

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如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD.

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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF是中位线,BD交EF于P,已知EP∶PF=1∶2,AD=7cm,求BC的长.

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