设P是边长为23的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则x+y+z的最大值为______．

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设P是边长为23的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则x+y+z的最大值为______．

题型：不详难度：来源：
设P是边长为2


3
的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则


x
+


y
+


z
的最大值为______．
答案
正三角形的边长为a=2


3
，可得它的高等于


3
2
a=3
∵P是正三角形内部一点
∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高，即x+y+z=3
∵（


x
+


y
+


z
）2=（1×


x
+1×


y
+1×


z
）2≤（1+1+1）（x+y+z）=9
∴


x
+


y
+


z
≤3，当且仅当x=y=z=1时，


x
+


y
+


z
的最大值为3
故答案为：3
举一反三
已知x2+4y2+kz2=36，（其中k＞0）且t=x+y+z的最大值是7，则 k=______．
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已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1，求2a+b+2c的最大值．
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已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3


3
．
（1）求证：
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
≥


3
2
．
（2）求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值．
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设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=


14
，则x+y+z=______．
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已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______．
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