已知矩阵A=，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3）.（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量.

题型：不详难度：来源：

已知矩阵A=，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3）.（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量.

答案

（1）-4（2）矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.

解析

（1）由=
得a+1=-3a=-4.
（2）由（1）知A=
则矩阵A的特征多项式为
f（）==（-1）²-4=²-2-3
令f()=0,得矩阵A的特征值为-1或3.
设矩阵A的特征向量为
当=-1时，="(-1)"
即,所以y=2x.
∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.
当=3时，=3,
即,所以2x+y=0.
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.