试题分析:(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、, , ∴切线的方程为:, 又切线过点, 有,即, (1) 同理,由切线也过点,得.(2) 由(1)、(2),可得是方程的两根, ( * )
, 把( * )式代入,得, 因此,函数的表达式为. (Ⅱ)当点、与共线时,, =,即=, 化简,得, ,. (3) 把(*)式代入(3),解得. 存在,使得点、与三点共线,且 . (Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数, , 则. 依题意,不等式对一切的正整数恒成立, , 即对一切的正整数恒成立. , , . 由于为正整数,. 又当时,存在,,对所有的满足条件. 因此,的最大值为. 解法:依题意,当区间的长度最小时, 得到的最大值,即是所求值. ,长度最小的区间为 当时,与解法相同分析,得, 解得. 后面解题步骤与解法相同(略). 点评:难题,切线的斜率等于函数在切点的导函数值。不等式恒成立问题,常常转化成求函数的最值问题。(III)小题,通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),进一步确定得到参数的范围。 |