(本题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则

(本题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则

题型:不详难度:来源:
(本题满分14分)已知函数
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则对任意,都有
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都有.
答案
(1)
(2)构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函数的导数判定单调性,然后证明最小值大于零即可。而第三问中,在上一问的基础上,运用结论放缩得到证明。
解析

试题分析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为,且
所以,得,此时.
时,,函数在区间上单调递增;
时,,函数在区间上单调递减.
函数处取得极大值,故       …………………………4分
(Ⅱ)令
.
因为函数在区间上可导,则根据结论可知:存在
使得                      …………………………7分

时,,从而单调递增,
时,,从而单调递减,
故对任意,都有         . …………………………9分
(Ⅲ),且
 
同理,      …………………………12分
由(Ⅱ)知对任意,都有,从而

…………………………14分
点评:解决该试题的关键是根据导数的符号,确定函数单调性,进而分析得到最值,证明不等式的成立。属于中档题 。
举一反三
(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)求上的单调区间;
(Ⅱ)求为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?
题型:不详难度:| 查看答案
定义在上的函数满足且当递增, 若的值是          (      )                                        
A.恒为正数B.恒为负数C.等于0D.正、负都有可能

题型:不详难度:| 查看答案
不等式选讲已知函数
⑴当时,求函数的最小值;
⑵当函数的定义域为时,求实数的取值范围。
题型:不详难度:| 查看答案
已知上是减函数,则满足的实数的取值范围是(     ).
A.(-∞,1)B.(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)

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下列各组函数是同一函数的是(   )
; ②
;         ④
A.①②B.①③C.③④D.①④

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