若为常数，且。（Ⅰ）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；（Ⅱ）设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

题型：不详难度：来源：

若为常数，且。
（Ⅰ）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析。

解析

本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。
（I）恒成立

若，则，显然成立；若，记
当时，，
所以，故只需；
当时，，
所以，故只需。
（II）如果，则的图象关于直线对称，
因为，所以区间关于直线对称。
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。
如果，结论的直观性很强。