已知a,b为两个正数,且a>b,设,当n≥2,n∈N*时,。(1)求证:数列{an}是递减数列,数列{bn}是递增数列;(2)求证:an+1-bn+1<;

已知a,b为两个正数,且a>b,设,当n≥2,n∈N*时,。(1)求证:数列{an}是递减数列,数列{bn}是递增数列;(2)求证:an+1-bn+1<;

题型:北京模拟题难度:来源:

已知a,b为两个正数,且a>b,设,当n≥2,n∈N*时,
(1)求证:数列{an}是递减数列,数列{bn}是递增数列;
(2)求证:an+1-bn+1
(3)是否存在常数C>0,使得对任意n∈N*,有|an-bn|>C,若存在,求出C的取值范围;若不存在,试说明理由。

答案
解:(1)证明:易知对任意n∈N*,an>0,bn>0
由a≠b,可知,即a1>b1
同理,,即a2>b2
可知对任意n∈N*,an>bn

所以数列{an}是递减数列

所以数列{bn}是递增数列。
(2)证明:

(3)由
可得
若存在常数C>0,使得对任意n∈N*,有|an-bn|>C,
则对任意n∈N*,
对任意n∈N*成立,
对任意n∈N*成立,
设[x]表示不超过x的最大整数,
则有
即当时,
对任意n∈N*成立矛盾
所以,不存在常数C>0,使得对任意n∈N*,有|an-bn|>C。
举一反三
已知,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|。
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设minA表示数集A中最小数,maxA表示数集A中最大数,若a>0,b>0,h=min,H=
max
(Ⅰ)求证:h≤
(Ⅱ)求证:H≥
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已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数,且a1<a2<…<an,对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x-y|≥
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证:n≤9;
(Ⅲ)对于n=9,试给出一个满足条件的集合A。
题型:北京期末题难度:| 查看答案
S=1+,则S的整数部分是

[     ]

A.1997
B.1998
C.1999
D.2000
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已知二次函数f(x)=ax2+bx的图像过点(4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*。
(1)若数列{an}满足,且a1=4,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:,当n≥3,n∈N*时,
求证:①b2n<b2n+1<b2n-1(n∈N*)
②b1+b2+b3+…+bn>
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