国防科技工业局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射．我国已成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，该卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为

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国防科技工业局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射．我国已成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，该卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t，月球半径为R₀，月球表面处重力加速度为g₀．
（1）请推导出“嫦娥二号”卫星离月球表面高度的表达式；
（2）地球和月球的半径之比为

R

R0

=

4

1

、表面重力加速度之比为

g

g0

=

6

1

，试求地球和月球的密度之比．

答案

（1）“嫦娥一号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m（

2π

T

）²r     ①
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式：

GMm

r02

═mg₀  ②
卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，所以T=

t

n

       ③
r=R₀+h              ④
由①②③④解得：h=

3	R 20 g0 t 20 4n2π2

-R₀
（2）在星球表面，根据万有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg ⑤
ρ=

M′

V

               ⑥
已知地球和月球的半径之比为

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
答：（1）卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式为

3	R 20 g0 t 20 4n2π2

-R₀；
（2）地球和月球的密度之比为

3

2

．