如图，直线与x轴、y轴分别相交于点B、点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且抛物线的对称轴为.小题1:求抛物线的函数表达式及顶点坐标

题型：不详难度：来源：

如图，直线与x轴、y轴分别相交于点B、点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且抛物线的对称轴为.

小题1:求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
小题2:连接AC，则在x轴上是否存在一点Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

 
小题1:在中,当时,
∴点C坐标为(0,3)
当时,有
∴点B坐标为           …1分
∴过B,
且对称轴为
∴                                         …2分
解得:
∴抛物线的解根据析式为:                     …3分
由知:
顶点P的坐标为:                                   …4分
小题2:在中,令,有:
∴
∴点A坐标为
∴
在Rt△BOC中,OB=OC=3
∴∠ABC=45° 
令与轴交于点D.则D点坐标为
∴在Rt△PBD中,PD="BD=1," ∠PBD=45°
PB=
假设在轴上存在点Q,使得△PBQ与△PBC相似
①若点Q在点B的右侧:
(i)当,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ∽△CBA
此时,.
∴点Q的坐标为:                                 …6分
(ii)当:, ∠ABC=∠PBQ="45°," △PBQ∽△ABC
此时,有:, BQ=3
此时点Q与点O重合,坐标为(0,0)                          …8分
②若点Q在点B的左侧
则: ∠PBQ=180°-45°=135°
在Rt△AOC中,
∴∠OAC>45°     ∴∠BAC<135°
而∠BAC为△ABC的最大内角.
此时△PBQ与△ABC不可能相似.                          …10分
综上所述:能使△PBQ与△ABC相似的符合条件的点Q有两种情况,坐标分别为:和(0,0)

解析

 略