如图,一次函数y=x+m图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且BC=2OB,过A、C两点的抛物线交直线AB于点D,且CD∥x轴.(1)求这

如图,一次函数y=x+m图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且BC=2OB,过A、C两点的抛物线交直线AB于点D,且CD∥x轴.(1)求这

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如图,一次函数y=x+m图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且BC=2OB,过A、C两点的抛物线交直线AB于点D,且CDx轴.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)观察图象,写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围;
(3)在这条抛物线上是否存在一点M使得∠ADM为直角?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)把点A(1,0)代入y=x+m得m=-1,(1分)
∴y=x-1,
∴点B坐标为(0,-1),(2分)
∵BC=2OB,OB=1,
∴BC=2,
∴OC=3,(3分)
∴C点坐标为(0,-3),(4分)
又CDx轴,
∴C、D关于对称轴对称,
∴点D的纵坐标为-3,(5分)
代入y=x-1得x=-2,
∴点D的坐标为(-2,-3),(6分)
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由题意得:





a+b+c=0
c=-3
4a-2b+c=-3
,(7分)
解得a=1,b=2,c=-3,
∴y=x2+2x-3(8分)

(2)x<-2或x>1(10分)

(3)∵BC=CD=2,且CDx轴,
∴△BCD为等腰Rt△,∠BCD=90°,(11分)
又抛物线顶点为E(-1,-4)且E到CD的距离EG=1,(12分)
∴DG=GC=1,
∴EG=DG,
∴∠EDC=45°,
∴∠EDA=90°,(13分)
∴存在点M(-1,-4),(即抛物线顶点E)使得∠ADM=90°.(14分)
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点D、E.
(1)若抛物线y=
1
4
x2+bx+c
经过C、D两点,求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上.
(2)若在(1)中的抛物线的对称轴有一点P,使得△PBD的周长最短,求点P的坐标.
(3)若点M为(1)中抛物线上一点,点N为其对称轴上一点,是否存在以点B、C、M、N为顶点的平行四边形?若存在,直接写出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知关于x的一元二次方程
1
2
x2+(m-2)x+2m-6=0

(1)求证:无论m取任何实数,方程都有两个实数根;
(2)当m<3时,关于x的二次函数y=
1
2
x2+(m-2)x+2m-6
的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且2AB=3OC,求m的值;
(3)在(2)的条件下,过点C作直线lx轴,将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折,二次函数图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,记为G.请你结合图象回答:当直线y=
1
3
x+b
与图象G只有一个公共点时,b的取值范围.
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如图(1),矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上,折叠边AD,使点D落在x轴上点F处,折痕为AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为(m,0),其中m>0.
(1)求点E、F的坐标(用含m的式子表示);
(2)连接OA,若△OAF是等腰三角形,求m的值;
(3)如图(2),设抛物线y=a(x-m-6)2+h经过A、E两点,其顶点为M,连接AM,若∠OAM=90°,求a、h、m的值.
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已知:如图,二次函数的图象是由y=-x2向右平移1个单位,再向上平移4个单位所得到.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P是抛物线对称轴l上一动点,求使AP+CP最小的点P的坐标.
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已知,如图,在直角坐标系中O是坐标原点,四边形AOCB是矩形,0C=6,OA=2,P是边AB上的任意一点.当点P在边AB上移动时,是否存在这样的点P使得OP⊥PC成立?若存在,请求出点P的坐标,画出满足条件的P点,并求出经过D、P、C三点的抛物线的对称轴;若不存在这样的P点,请说明理由.
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