已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=
题型：不详难度：来源：
| 已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． |
答案
∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6即（x1+x2）-（x3+x4）=6
∴（x1+x2）-（x3+x4）=-b+b2=6，即b2-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有两实根
∴△=b4-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x2-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x2+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：(-，-)． |
举一反三
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
| x | … | -1 | 0 | 1 | 3 | … | | y | … | -3 | 1 | 3 | 1 | … | | 已知方程x2+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是______． | | 以（1，2）为顶点的抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点M，且A的坐标为（-1，0），求△AMB的面积． | | 已知方程2x2-3x-5=0两根为，-1，则抛物线y=2x2-3x-5与x轴两个交点间距离为______． | 当-2＜x＜1时，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）上的点都在x轴的上方，该抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），若设A，B两点的坐标分别为A（m，0），B（n，0），则m，n的取值范围分别为（ ）| A．m=-2，n=1 | B．m＜-2，n＞1 | C．m≤-2，n≥1 | D．m≥-2，n≤1 |
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