如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。 （1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。

答案

解：（1）连结AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，
∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形； （2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，
由（1）知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=AB，
∴四边形APDQ为正方形。