在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：（1）这四个顶点构成的四边形为矩形；（2）

题型：不详难度：来源：

在正2004边形A₁A₂…A₂₀₀₄各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：
（1）这四个顶点构成的四边形为矩形；
（2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．

答案

证明：（1）由题意知，顶点A₁与A_i=1002为一组关于中心对称的点，其中i=1，2，…1002．
则2004个顶点可分为1002组，
顺次连接每两组的顶点，均可得到一个四边形，
由于对角线互相平分且相等，
所以，得到的四边形是矩形．

（2）由题意，设在顶点A₁上所填的数为a₁，则
2≤a₁+a_i=1002≤501×2，
即2到1002共有1001个不同的数，
又1002组有1002个数，由抽屉原则知，至少有两组顶点所填数之和相等，
则此两组顶点即为所求的四个顶点．