如图,AB是⊙O的直径,CB、CD是⊙O的两条切线,D为切点,AC与⊙O交于点E,连接BE.(1)求证:△BEC∽△ABC;(2)若CE=4,AE=5,求切线C

如图,AB是⊙O的直径,CB、CD是⊙O的两条切线,D为切点,AC与⊙O交于点E,连接BE.(1)求证:△BEC∽△ABC;(2)若CE=4,AE=5,求切线C

题型:不详难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,CB、CD是⊙O的两条切线,D为切点,AC与⊙O交于点E,连接BE.

(1)求证:△BEC∽△ABC;
(2)若CE=4,AE=5,求切线CD的长.
答案
(1)根据圆周角定理及切线的性质可得∠4=90°,∠1=90°,即可得到∠2=∠1,再结合公共角∠3即可证得结论;(2)6
解析

试题分析:(1)根据圆周角定理及切线的性质可得∠4=90°,∠1=90°,即可得到∠2=∠1,再结合公共角∠3即可证得结论;
(2)先求得AC的长,再根据相似三角形的性质即可求得CB的长,最后根据切线长定理即可求得结果.
(1)如图:

∵AB是⊙O的直径,CB是⊙O的切线,
∴ ∠4=90°,∠1=90°.
∴ ∠2=∠4=90°.
∴ ∠2=∠1.   
又∵ ∠3=∠3
∴ △BEC∽△ABC;
(2)∵AC=CE+AE=4+5=9
∵ △BEC∽△ABC,

∴ CB2=CE·AC=4×9=36.
∴ CB=6
∵ CB、CD是⊙O的两条切线
∴ CD=CB=6.
点评:解题的关键是熟记直径所对的圆周角是直角,切线垂直于经过切点的半径;相似三角形的对应边成比例,注意对应字母写在对应位置上.
举一反三
如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,弧EC等于弧BC.则下列结论中不一定正确的是 (  )

A.BA⊥DA          B.OC∥AE       C.∠COE=2∠CAE         D.OD⊥AC
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如图,△ABC中,∠C=90,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC的度数为( )

A.650                        B. 600                    C.550                               D.450
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm ,BC=6cm,经过A,B的直线l以1cm/秒的速度向下作匀速平移运动,交BC于点B′,交CD于点 D′,与此同时,点P从点B′ 出发,在直线l上以1cm/秒的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.

(1)你求出的AB的长是     
(2)过点C作CD⊥AB于点D,t为何值时,点P移动到CD上?
(3)t为何值时,以点P为圆心、1cm为半径的圆与直线CD相切?
(4)以点P为圆心、1 cm为半径的⊙P与CD所在的直线相交时,是否存在点P与两个交点构成的三角形是等边三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,说明理由.
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如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=60°,则∠BCD的度数为

A、40°             B、50°             C、60°             D、70°
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如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是
A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.∠AOC=60°

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