如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行于⊙O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.(1)判断直线D

如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行于⊙O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.(1)判断直线D

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行于⊙O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.
(1)判断直线DC与⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)设点D的坐标为(-2,4),①求MC的长;②若动点P从点A出发向点D匀速运动,速度是每秒1个单位长;同时点Q从点D出发向点C匀速运动,速度是每秒2个单位长;其中一个点到达终点时运动即结束.连接PQ交OD于点H,当△PDH为直角三角形时,求点P的坐标.
答案
证明:(1)如图,连OM.
∵DOMB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵OB=OM,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠4.
在△DAO与△DMO中,





AO=OM
∠2=∠4
DO=DO

∴△DAO≌△DMO.
∴∠OMD=∠OAD.
∵FA⊥x轴于点A,
∴∠OAD=90°.
∴∠OMD=90°.
即OM⊥DC.
∴DC切⊙O于M.(4分)

(2)
①∵D(-2,4),
∴OA=2(即⊙O的半径),AD=4.
由(1)知DM=AD=4,
∵△OMC△DAC,
MC
AC
=
OM
AD
=
2
4
=
1
2

∴AC=2MC.
在Rt△ACD中,CD=MC+4,
∵(2MC)2+42=(MC+4)2
∴MC=
8
3
或MC=0(不合,舍去),
∴MC的长为
8
3
.(8分)

②由①知CD=
20
3

当∠PHD=90°时,由切线长性质定理知DO平分∠PDQ,
∴PD=QD.
∴4-t=2t,t=
4
3
(符合题意).
∴P(-2,
4
3
).(10分)
当∠DPH=90°时,PQAC,
∴△DPQ△DAC.
DP
DA
=
DQ
DC

4-t
4
=
2t
20
3
t=
20
11
(符合题意).
∴P(-2,
20
11
).(12分)
举一反三
如图,已知⊙O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是______.
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如图,圆周角∠BAC=55°,分别过B,C两点作⊙O的切线,两切线相交于点P,则∠BPC=______°.
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如图,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=BC=2,那么PA的长为(  )
A.2B.2


2
C.4D.8

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已知:AB为⊙O的直径,∠A=∠B=90°,DE与⊙O相切于E,⊙O的半径为


5
,AD=2.
①求BC的长;
②延长AE交BC的延长线于G点,求EG的长.
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如图所示,A是⊙O上的一点,AC为⊙O的切线,AB为弦,若∠B=59°,则∠BAC=______度.
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