如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿

题型：不详难度：来源：

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以

3

cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

答案

（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=

1

2

∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，
∴OB=

1

2

AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=

3

（cm），AC=2OA=2

3

（cm），
运动ts后，AP=

3

t，AQ=t，
∴

AP

AQ

=

AC

AB

=

3

又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t
由PM=PQ=AQ=t，即

3

-

3

2

t=t
解得t=4

3

-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴当4

3

-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2

3

-

3

t=t，∴t=3-

3

．
∴当1＜t≤3-

3

时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4

3

-6或1＜t≤3-

3

或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4

3

-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．