下列说法中:①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),则6为函数f(x)的周期;②若对于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,
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下列说法中:①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),则6为函数f(x)的周期;②若对于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,
题型:单选题
难度:一般
来源:不详
下列说法中:
①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),则6为函数f(x)的周期;
②若对于任意x∈(1,3),不等式x
2
-ax+2<0恒成立,则
a>
11
3
;
③定义:“若函数f(x)对于任意x∈R,都存在正常数M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,则称函数f(x)为有界泛函.”由该定义可知,函数f(x)=x
2
+1为有界泛函;
④对于函数
f(x)=
x-1
x+1
,设f
2
(x)=f[f(x)],f
3
(x)=f[f
2
(x)],…,f
n+1
(x)=f[f
n
(x)](n∈N
*
且n≥2),令集合M={x|f
2009
(x)=x,x∈R},则集合M为空集.
正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
①由题设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),得f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),故周期是6,正确.
②对于任意x∈(1,3),不等式x
2
-ax+2<0恒成立,即a>x+
2
x
对于任意x∈(1,3)恒成立,x+
2
x
≥2
2
等号当且仅当x=
2
x
=
2
时成立,又当x=1,x+
2
x
=3,x=3,x+
2
x
=
11
3
,故a≥
11
3
故不对.
③若命题成立,则必有M≥|x|+
1
|x|
,x∈R恒成立,这是不可能的,故不对.
④由题设f
2
(x)=-
1
x
,f
3
(x)=
x+1
x-1
,f
4
(x)=
1
x
,f
5
(x)=
1-x
x+1
f
6
(x)=-x,f
7
(x)=f
3
(x)=
x+1
x-1
,故从f
3
(x)开始组成了一个以f
3
(x)为首项,以周期为4重复出现,由2009=3+501*4+2得f
2009
(x)=f
5
(x),故
1-x
x+1
=x整理得,x
2
+2x-1=0,有解,故不对.
综上,仅有①正确
故应选A.
举一反三
已知集合M是由满足下列性质的函数f(x)的全体所组成的集合:在定义域内存在x
0
,使得f(x
0
+1)=f(x
0
)+f(1)成立.
(1)指出函数f(x)=
1
x
是否属于M,并说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
a
x
2
+1
属于M,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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非零实数a、b、c,则
a
|a|
+
b
|b|
+
c
|c|
+
abc
|abc|
的值组成的集合是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于两个非空数集A、B,定义点集如下:A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={1,3},B={2,4},则点集A×B的非空真子集的个数是______个.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数y=lg(4-x)的定义域为A,集合B={x|x<a},若P:“x∈A”是Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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说出下列集合的元素
①小于12的质数构成的集合;
②平方等于本身的数组成的集合;
③由
|a|
a
+
|b|
b
(a,b∈R)
所确定的实数的集合;
④抛物线y=x
2
-2x+1(x为小于5的自然数)上的点组成的集合.
题型:解答题
难度:一般
|
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